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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 2a

Verifique que a função dada é solução da equação dada.

x t = tg ⁡ t , - π 2 < t < π 2 , e d x d t = 1 + x 2

Passo 1

Aqui precisamos mostrar que para todo t em - π 2 , π 2

x t ' = d x d t = 1 + x t 2

Vamos então calcular x t ' :

x t ' = tg ⁡ t ' = sec 2 ⁡ t

Agora vamos substituir na fórmula e verificar se afirmação é verdadeira.

Passo 2

Agora vamos substituir em:

x ' t = 1 + x t 2

sec 2 ⁡ t = 1 + tg ⁡ t 2

sec 2 ⁡ t = 1 + tg 2 ⁡ t

Temos a identidade trigonométrica:

1 + tg 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t

Fazendo essa substituição, temos

sec 2 ⁡ t = 1 + tg 2 ⁡ t → sec 2 ⁡ t = sec 2   ⁡ t

Pronto, x t é solução da equação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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