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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 41c

Coloque na forma (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 .

2 x^2 + 2 y^2 + x = 1

Passo 1

Primeiro vamos agrupar os termos que contém x , y e as variáveis constantes:

2 x^2 + 2 y^2 + x = 1 harr (2 x^2 + x) + 2 y^2 = 1 harr ((2 x^2 + x))/(2) + (2 y^2)/(2) = (1)/(2) harr (x^2 + (x)/(2)) + y^2 = (1)/(2)

Agora vamos usar a seguinte fórmula para comparar e achar o valor de a e b :

(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2

De cara sabemos que a = x , e temos que o termo:

2 a b = (x)/(2) harr 2 a b = (a)/(2) harr 2 b = (1)/(2) harr b = (1)/(4)

Assim, temos que b = (1)/(4) .

Vamos substituir:

(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 -> (x + (1)/(4))^2 = x^2 + (x)/(2) + (1)/(16) -> x^2 + (x)/(2) = (x + (1)/(4))^2 - (1)/(16)

Passo 2

Agora voltando na expressão:

(x^2 + (x)/(2)) + y^2 = (1)/(2) harr (x + (1)/(4))^2 - (1)/(16) + y^2 = (1)/(2) harr (x + (1)/(4))^2 + y^2 = (1)/(2) + (1)/(16) harr (x + (1)/(4))^2 + y^2 = (9)/(16)

Por fim precisamos achar o valor de r , temos que:

r^2 = (9)/(16) harr r = sqrt((9)/(16)) = (3)/(4)

Então pronto, achamos na forma que queríamos:

(x + (1)/(4))^2 + y^2 = (9)/(16) harr (x + (1)/(4))^2 + y^2 = ((3)/(4))^2

Resposta

(x + (1)/(4))^2 + y^2 = ((3)/(4))^2

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