Use a desigualdade min f' <= (f(b) - f(a)) / (b - a) <= max f' para estimar f(0,1) se f'(x) = 1 / (1 - x^4) para 0 <= x <= 0.1 e f(0) = 2 .

Passo 1

Utilizando a desigualdade apresentada queremos uma estimativa para f ( 0.1 ) , com a função f ' x e a condição inicial dada.

Passo 2

Para analisarmos o comportamento da função dentro do intervalo, vamos observar a segunda derivada que é

f ' ( x )   = 1 - x 4 - 1

f " ( x )   = ( 1 - x 4 ) - 2 ⋅ ( - 4 x ³ )

Plotando o gráfico de f " ( x ) dentro do intervalo [ 0,0.1 ] temos

a função está crescendo.

Passo 3

Como temos f " ( x ) crescendo nesse intervalo nós podemos fazer estimativas para f ' x com os valores extremos do intervalo. Assim,

min ⁡ f ' ≈   1  

max ⁡ f ' ≈   1 . 0001  

1 ≤ f 0.1 - f 0 0.1 ≤ 1 . 0001

1 ≤ f 0.1 - 2 0.1 ≤ 1 . 0001

1 ⋅ 0.1 ≤ f 0.1 - 2 ≤ ( 1 . 0001 ) ⋅ 0.1

0 . 1 ≤ f 0.1 - 2 ≤ 0.10001

2.1 ≤ f 0.1 ≤ 2 . 1 0001

Resposta

∴ 2.1 ≤ f 0.1 ≤ 2.10001

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