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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.1 - Ex. 17

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

x = 2 y 2 , x = 4 + y 2

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as curvas:

x = 2 y 2 , x = 4 + y 2

Temos em mãos duas parábolas em função de x . Ambas tem a concavidade pra “cima”, nesse caso como estamos analisando o y a concavidade vai ser na verdade pra direita!

Pra achar os pontos de intersecção fazemos:

2 y 2 = 4 + y 2

y 2 = 4

y = ± 2

Além disso precisamos calcular as raízes de cada curva:

x = 2 y 2 → y = x 2

x = 0

Agora a outra:

x = 4 + y 2 → y = x - 4

x = 4

Agora sim, conseguimos esboçar:

Onde a curva azul é x = 4 + y 2 e a curva vermelha é   x = 2 y 2 .

Passo 2

A área que a gente quer calcular é essazinha de verde:

Passo 3

Agora vamos montar a integral! A área que vamos calcular vai ser dada pela subtração entre a curva vermelha e a curva azul e os limites de integração serão os pontos de intersecção que calculamos acima. Temos então:

A = ∫ a b f x - g x d x

A = ∫ - 2 2 ( 4 + y 2 ) - 2 y 2 d y

Simplificando:

A = ∫ - 2 2 ( 4 - y 2 ) d y

Essa integral pode ser dividida em duas partes, pois os intervalos de integração são iguais, logo:

A = 2 ∫ 0 2 4 - y 2 d y

Resolvendo essa integral:

A = 2 4 y - y 3 3 0 2

A = 2 4 ( 2 ) - ( 2 ) 3 3 - [ 0 ]

Então,

A = 2 8 - 8 3

A = 32 3

Prontinho!

Resposta

A = 32 3

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