Determine o centro de massa da região A dada por 4 * x^2 + y^2 ≤ 4 , y >= 0 . (Sugestão: Para o cálculo de x_c aproveite a simetria da figura.)

Passo 1

Primeiramente, temos a metade de uma elipse, cortada em x . Portanto, de cara, o centro de massa de x c = 0 . Agora, para o centro de massa em y , vamos utilizar o teorema de papus, primeiramente calculando o volume do solido de rotação em x , portanto temos que:

f x =   4 - 4 x 2 = 2 1 - x 2

Portanto,

V x = π ∫ - 1 1 4 1 - x 2 d x = 8   π 1 - 1 3 = 16 3   π

Finalmente,

y c = V x 2 π A

Lembrando que a área da elipse é π a b → A = 1 2 π   1 * 2 = π

y c = 16 3   π 2 π 2 = 8 3 π

Resposta

y c = 8 3 π

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