Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.9 - Ex. 10
Seja A o conjunto do plano de todos os tais que , , onde e são supostas contínuas em . Image como uma lâmina delgada, homogênea, de modo que a densidade superficial é constante ( é a massa por unidade de área). Seja ( o centro de massa de . Sejam o volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo e o volume obtido pela rotação de em torno do eixo . Pelo teorema de papus (exercício 3 acima), é igual ao produto da área de pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação em torno do eixo , pelo centro de massa de . Do mesmo modo, é igual ao produto da área de pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação em torno do eixo , pelo centro de massa de . Pois bem, dessas informações conclua que:
Passo 1
Bem, vamos começar escrever o teorema de papus:
é o raio da circunferência gerada pela rotação em torno do eixo , porém esse raio é a distância do centro de massa do eixo ou seja é , assim:
Para o caso do volume da rotação em :
Resposta