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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.9 - Ex. 10

Seja A o conjunto do plano de todos os ( x , y ) tais que 0 ≤ a ≤ x ≤ b , 0 ≤ f x ≤ y ≤ g ( x ) , onde f e g são supostas contínuas em [ a , b ] . Image A como uma lâmina delgada, homogênea, de modo que a densidade superficial ρ é constante ( ρ é a massa por unidade de área). Seja ( x c ,   y c ) o centro de massa de A . Sejam V x o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno do eixo x e V y o volume obtido pela rotação de A em torno do eixo y . Pelo teorema de papus (exercício 3 acima), V x é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação em torno do eixo x , pelo centro de massa de A . Do mesmo modo, V y é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação em torno do eixo y , pelo centro de massa de A . Pois bem, dessas informações conclua que:

x c = V y 2   π   á r e a   d e   A  

y c = V x 2   π   á r e a   d e   A

Passo 1

Bem, vamos começar escrever o teorema de papus:

V x = A   2 π R x

R x é o raio da circunferência gerada pela rotação em torno do eixo x , porém esse raio é a distância do centro de massa do eixo x ou seja é y c , assim:

V x = A   2 π y c → y c = V x 2   π A

Para o caso do volume da rotação em y :

V y = A   2 π x c →   x c = V y 2   π A  

Resposta

x c = V y 2   π   A   y c = V x 2   π A  

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