Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 42

(a) Completando o quadrado, mostre que

∫ 0 1 / 2 d x x 2 - x + 1

(b) Usando a fatoração de x 3 + 1 como uma soma de cubos, reescreva a integral no item (a). Depois expresse 1 / ( 1 + x 3 ) como a soma de uma série de potências e use-a para demonstrar a seguinte fórmula para π :

π = 3 3 4 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 8 n 2 3 n + 1 + 1 3 n + 2

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos lá!

Vamos começar completando o quadrado no denominador da integral para simplificar o processo de integração. Após essa etapa, substituiremos a expressão na integral e simplificaremos a expressão resultante. Em seguida, faremos uma substituição para facilitar a integração. Resolveremos a integral resultante e, finalmente, aplicaremos os limites de integração e a constante de integração para obter o valor da integral definida.

Para completar o quadrado, vamos considerar a integral dada:

∫ 0 1 / 2 d x x 2 - x + 1

Começaremos completando o quadrado no denominador:

x 2 - x + 1 = x - a 2 + b

Expandindo o quadrado dos parênteses

x 2 - x + 1 = x 2 - 2 a x + a 2 + b

Passo 2

(a) Pela igualdade de polinômios

- 2 a x = - x

2 a = 1

a = 1 2

Temos também que

a 2 + b = 1

b = 1 - a 2

b = 1 - 1 4

b = 3 4

Então temos que

x 2 - x + 1 = x - 1 2 2 + 3 4

Essa transformação nos permite expressar a integral de uma maneira mais conveniente. Em seguida, faremos uma substituição para tornar a integração mais simples.

Passo 3

Substituindo na integral, temos

∫ 0 1 / 2 d x x 2 - x + 1 = ∫ 0 1 / 2 d x x - 1 2 2 + 3 4

Colocando 3 / 4 em evidencia

∫ 0 1 / 2 d x 3 4 x - 1 / 2 2 3 / 4 + 1 = 4 3 ∫ 0 1 / 2 d x 4 3 x - 1 2 2 + 1

Vamos colocar o 4 / 3   multiplicando o quadrado para dentro do parênteses, para isso precisamos aplicar a raiz para cancelar o quadrado

= 4 3 ∫ 0 1 / 2 d x 2 3 x - 1 2 2 + 1 = 4 3 ∫ 0 1 / 2 d x 2 x - 1 3 2 + 1

Passo 4

Podemos agora fazer uma substituição, para isso, vamos esquecer um pouco os limites de integração, depois voltamos pra eles, vamos deixar de fora também a constante, focando só na integral

∫ d x 2 x - 1 3 2 + 1

Substituindo

u = 2 x - 1 3

d u = 2 3 d x

Na integral fica

∫ d x 2 x - 1 3 2 + 1 = 3 2 ∫ d u u 2 + 1 = 3 2 arctg ⁡ u + C

Substituindo de volta

= 3 2 arctg ⁡ 2 x - 1 3 + C

Passo 5

Voltando para a integral definida

4 3 ∫ 0 1 / 2 d x 2 x - 1 3 2 + 1 = 4 3 3 2 arctg ⁡ 2 x - 1 3 0 1 / 2

= 2 3 3 arctg ⁡ 2 1 2 - 1 3 - arctg ⁡ 2 0 - 1 3

= 2 3 3 arctg ⁡ 0 - arctg ⁡ - 1 3 = 2 3 3 - arctg ⁡ - 1 3

= 2 3 3 - - π 6 = π 3 9

Passo 6

(b) Podemos fatorar x 3 + 1 como

x 3 + 1 = x + 1 x 2 - x + 1

Isalando o polinômio quadrático

x 2 - x + 1 = x 3 + 1 x + 1

Calculando 1 / ( x 3 + 1 ) como uma série

1 x 3 + 1 = 1 1 - ( - x 3 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n

Se substituirmos

x 2 - x + 1 = x 3 + 1 x + 1

Na integral definida

∫ 0 1 / 2 d x x 2 - x + 1 = ∫ 0 1 / 2 x + 1 x 3 + 1 d x = ∫ 0 1 / 2 ( x + 1 ) ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n d x

= ∫ 0 1 / 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n d x

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 2 3 n + 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 1 3 n + 1 0 1 / 2

Podemos juntar as séries antes de substituir

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 3 n + 2 + 1 / x 3 n + 1 x 3 n + 2 0 1 / 2

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 3 n + 2 + 2 3 n + 1 1 2 3 n + 2

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 ⋅ 2 3 n 1 3 n + 2 + 2 3 n + 1

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 ⋅ 8 n 1 3 n + 2 + 2 3 n + 1

Passo 7

Como calculamos a integral por duas maneiras e é uma integral definida, podemos igualar os resultados

∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 ⋅ 8 n 1 3 n + 2 + 2 3 n + 1 = π 3 9

Isolando π

π = 9 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 ⋅ 8 n 1 3 n + 2 + 2 3 n + 1

Racionalizando a fração

π = 9 3 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 ⋅ 8 n 1 3 n + 2 + 2 3 n + 1

π = 3 3 4 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 8 n 1 3 n + 2 + 2 3 n + 1

Resposta

(a) π 3 9

(b)

π = 3 3 4 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 8 n 1 3 n + 2 + 2 3 n + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. ∑ n = 2 ∞ n ln ⁡ n n
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.36. ∑ n = 1 ∞ s e n n π 6 1 + n n
Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.29. ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.34. ∑ n = 1 ∞ n 5 2 n 10 n + 1
Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n