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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 76

Compare a Definição 1.1.1 informal com a Definição 1.4.1.

(a) Quais partes da Definição 1.4.1 correspondem à expressão “os valores de f ( x ) puderem ser tornados tão próximos quanto queiramos de L ” da Definição 1.1.1? Explique.

(b) Quais partes da Definição 1.4.1 correspondem à expressão “tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas não iguais a a )” da Definição 1.1.1? Explique.

Passo 1

A definição é essa

lim x → a ⁡ f x = L

Se, dado qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que

f x - L < ϵ se 0 < x - a < δ

Precisamos comparar essa definição com a definição informal. Bora!

Passo 2

(a) A parte dessa definição que se refere a “os valores de f ( x ) puderem ser tornados tão próximos quanto queiramos de L ” é representada pela inequação:

f x - L < ϵ

A distância entre os valores de f ( x ) e L nessa definição mais precisa é quantificada por ϵ , que é um valor que nós controlamos.

Passo 3

(b) A parte dessa definição que se refere a “tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas não iguais a a )” é representada pela inequação:

0 < x - a < δ

Que quer dizer:

a - δ < x < a + δ

Ou seja, a proximidade dos valores de x em relação a a é quantificada por δ .

Resposta

(a) f x - L < ϵ

(b) 0 < x - a < δ

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57. a) Encontre o maior intervalo aberto centrado na srcem do eixo x , tal que, para cada ponto x no intervalo, diferente do centro, o valor de f x = 1 x 2 é maior do que 100 .
57. d) Encontre o maior intervalo aberto, centrado na secrem do eixo x , tal que, para cada ponto x do intervalo, diferente de zero, o valor de f x = - 1 x 4 é menor do que - 10000 .
57. c) Encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 3 , tal que, para cada ponto x do intervalo, diferente de 3 , o valor da função f x = - 1 x - 3 2 é menor do que - 1000 .
58. Em cada parte, encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .a) M = 10
58. Em cada parte, encontre o maior intervlao aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .c) M = 100000