Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.

34. ∑ n = 1 ∞ n 5 2 n 10 n + 1

Passo 1

Como a gente tem uma razão de potencias de n , dá para perceber que o teste da razão é uma boa maneira de sabermos se a série é convergente ou divergente. O teste da razão é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Se o L > 1 a série é divergente, se L < 1 a série é absolutamente convergente e se L = 1 , o teste não nos diz nada.

Aplicando ele na nossa série, ficamos com:

L = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 5 2 n + 2 10 n + 2 n 5 2 n 10 n + 1 = l i m n → ∞ ( n + 1 ) 5 2 n + 2 10 n + 2 10 n + 1 n 5 2 n

Passo 2

Para resolvermos o limite, vamos simplificar alguns termos iguais, como o 5 2 n e o 10 n + 1 :

L = l i m n → ∞ n + 1 5 2 10 1 n = l i m n → ∞ n + 1 5 2 10 n

Tirando do módulo, ficamos com a mesma coisa, porque todos os termos são positivos:

L = l i m n → ∞ 25 n + 1 10 n

Como temos uma inderteminação ∞ / ∞ , não podemos aplicar o limite ainda, vamos colocar n em evidencia no numerador para podermos resolver:

L = l i m n → ∞ 25 n 1 + 1 n 10 n = l i m n → ∞ 25 1 + 1 n 10

Passo 3

Agora sim podemos aplicar o limite, o termo 1 / n tende para zero e sobra só:

L = 25 10

Que é maior que 1, então a série é divergente.

Resposta

D i v e r g e n t e

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