Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de integral em coordenadas polares aqui, vamos lá! Encontre a área da região que é delimitada pelas curvas dadas e está no setor especificado.

r 2 = 9   s e n   2 θ

r ≥ 0

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 1

Se estamos buscando a área já sabemos que vamos precisar usar integrais em algum momento. Normalmente, quando calculamos a integral de uma curva em coordenadas cartesianas, o resultado da integral fornece exatamente a área da curva. Mas a curva deste problema é dada em coordenadas polares.

Para isso, usaremos a fórmula especifica para cálculo de área em coordenadas polares:

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Veja que a nossa curva foi dada no formato:

r 2 = 9   s e n   2 θ

Mas ela também pode ser representada da seguinte forma:

r = 9   s e n   2 θ

Por isso a condição r ≥ 0 , vamos considerar somente o resultado positivo da raiz (não vai afetar muito o nosso cálculo, mas é interessante verificar).

E por fim, o nosso limite de integração também foi dado no enunciado, só precisamos substituir na fórmula e calcular!!

Passo 2

Substituindo os dados que temos na fórmula da área a gente vai ter:

A = ∫ 0 π / 2 1 2 ∙ 9   s e n   2 θ   d θ

Ou ainda:

A = 9 2 ∫ 0 π / 2 s e n   2 θ   d θ

Para resolver essa integral a gente pode usar substituição para substituir o 2 θ por u :

u = 2 θ

d u = 2 d θ

d θ = d u 2

Atualizando nossos limites de integração pra nova variável:

θ = 0 = > u = 0

θ = π 2 = > u = π

Substituindo nossso novos valores na integral:

A = 9 2 ∫ 0 π s e n   u   d u 2

A = 9 4 ∫ 0 π s e n   u   d u

Passo 3

Agora ficou fácil, resolvendo a integral a gente tem:

A = 9 4 - cos ⁡ u 0 π

E por fim aplicando os limites de integração:

A = - 9 4   cos ⁡ π - cos ⁡ 0

A = - 9 4   - 1 - 1

Temos finalmente a área.

A = 9 2

Resposta

A = 9 2

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