Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.4 - Ex. 3
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de integral em coordenadas polares aqui, vamos lá! Encontre a área da região que é delimitada pelas curvas dadas e está no setor especificado.
Passo 1
Se estamos buscando a área já sabemos que vamos precisar usar integrais em algum momento. Normalmente, quando calculamos a integral de uma curva em coordenadas cartesianas, o resultado da integral fornece exatamente a área da curva. Mas a curva deste problema é dada em coordenadas polares.
Para isso, usaremos a fórmula especifica para cálculo de área em coordenadas polares:
Veja que a nossa curva foi dada no formato:
Mas ela também pode ser representada da seguinte forma:
Por isso a condição , vamos considerar somente o resultado positivo da raiz (não vai afetar muito o nosso cálculo, mas é interessante verificar).
E por fim, o nosso limite de integração também foi dado no enunciado, só precisamos substituir na fórmula e calcular!!
Passo 2
Substituindo os dados que temos na fórmula da área a gente vai ter:
Ou ainda:
Para resolver essa integral a gente pode usar substituição para substituir o por :
Atualizando nossos limites de integração pra nova variável:
Substituindo nossso novos valores na integral:
Passo 3
Agora ficou fácil, resolvendo a integral a gente tem:
E por fim aplicando os limites de integração:
Temos finalmente a área.