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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 58

Escreva uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x. Use sua calculadora para encontrar a superfície com precisão de quatro casas decimais.

x = sen ⁡ t ,   y = sin ⁡ 2 t ;     0 ≤ t ≤ π 2

Passo 1

Fala ai. Tranquilo? Se liga nessa questão!

Nosso objetivo é calcular a área da superfície pela rotação do eixo x . A curva é definida pelas funções x = sen ⁡ t ,   y = sin ⁡ 2 t , onde o parâmetro t varia de 0 a π 2 .

E como podemos resolver?

  1. Identificando as funções paramétricas.
  2. Derivar as funções x e y , em função de t .
  3. Usar a fórmula da área da superfície

    4. A = ∫ a b 2 π y ( t ) d x d t 2 + d y d t 2 d t

  4. Simplificamos a expressão resolvendo a integral.

Seguindo esses passos conseguimos a respostas!

Passo 2

Vamos começar entendendo nossas funções

A curva é definida pelas funções:

x = sen ⁡ t

y = sin ⁡ 2 t

E o intervalo do parâmetro é 0 ≤ t ≤ π 2  

Passo 3

Vamos lembrar que nosso objetivo é calcular o comprimento do arco e para isso precisamos obter as derivadas d x d t e d y d t

Para d x d t

d d t ( sen ⁡ t )

A derivada será

d x d t = cos ⁡ t

Para d y d t

d d t ( sin ⁡ 2 t )

d y d t = 2 cos ⁡ 2 t

Passo 4

Podemos então aplicar as derivadas na equação do comprimento do arco

A = ∫ a b 2 π y ( t ) d x d t 2 + d y d t 2 d t

Para facilitar a resolução da questão, primeiro iremos resolver dentro da raiz quadrada.

d x d t 2 + d y d t 2

Como d x d t = cos ⁡ t e d y d t = 2 cos ⁡ 2 t , temos

d x d t 2 + d y d t 2 = cos ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2

d x d t 2 + d y d t 2 = cos 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ 2 t

Passo 5

Escrevendo uma integral para a área de superfície, temos que:

S = ∫ 2 π y   d s

Onde d s =   cos 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ 2 t

Substituindo os termos, e o intervalo de   0 ≤ t ≤ π 2 , nossa integral de superfície será:

S = ∫ 0 π 2 2 π sen ⁡ 2 t   cos 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ 2 t d t   ≈ 8,0285

Resposta

≈ 8,0285

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