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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.4 - Ex. 5

Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver mais uma atividade juntos.

Vamos aqui calcular a área da curva:

r = θ

Vamos então utilizar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar:

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

O r das coordenadas polares é a distância entre a origem e o ponto e o ângulo θ é inclinação desse r em relação a horizontal, abaixo existe uma melhor visualização desse tipo de coordenada e sua relação com as coordenadas cartesianas:

Os limites de integração podemos encontrar a partir da figura. A linha que forma a fronteira do gráfico começa em ( 0,0 ) e dá uma volta completa, ou seja, percorreu um ângulo θ = 2 π   r a d .

Passo 2

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ 2 π e substituindo r = θ , obtemos:

A = ∫ 0 2 π 1 2 θ   d θ

Retirando a constante da integração:

A = 1 2 ∫ 0 2 π θ   d θ

Realizando a integração:

A = 1 2 θ 2 2 0 2 π

Calculando a área:

A = 1 4   4 π 2 - 0  

Temos então que:

A = π ²

Resposta

A = π ²

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