Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 4
4) O comprimento de um retângulo está crescendo a uma taxa de cm/s e sua largura está crescendo a uma taxa de cm/s. Quando o comprimento for cm e a largura for cm, quão rapidamente estará crescendo a área do retângulo?
Passo 1
Bora lá! Temos um retângulo e seu comprimento esta crescendo a uma taxa de cm/s e sua largura está crescendo a uma taxa de cm/s. Sabendo disso a gente precisa responder com que taxa a área do retângulo estará aumentando quando tivermos:
A primeira coisa que devemos fazer é relacionar a área em função de seu comprimento e sua largura. Sabemos que se é o comprimento e é a largura dos lados do retângulo, então a área é dada por:
Passo 2
Se e variam com o tempo e a área varia em função de e então a área também varia com o tempo. Já que isso acontece podemos derivar implicitamente toda a equação em função do tempo com auxílio da regra do produto:
Se no dado instante, o comprimento for cm, e a largura for cm e as taxas de variação (derivadas) forem cm/s e cm/s. Então:
Logo, a área do retângulo varia a uma taxa de .
Resposta
A área do retângulo varia a uma taxa de .