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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 59

Conforme a figura abaixo, um copo de coquetel com a forma de um hemisfério com diâmetro de 8   c m contém um cereja com 2   c m de diâmeto. Se o copo for preenchido até uma profundidade de h   c m , que volume de líquido ele conterá? [Sugestão: Conidere primeiro o caso em que a cejera está parcialmente submersa e, depois, quando ela está totalmente submersa.]

Passo 1

Bom galera, vamos começar calculando quando a cereja está parcialmente submersa, nesse caso, o volume do vinho é igual a região entre as curvas v ( y ) e w ( y ) perpendicular ao eixo y . E v ( y ) é uma parte da metade direita do circulo com centro ( 0,1 ) e raio 1 , e a equação desse circulo é:

x 2 + y - 1 2 = 1

Logo temos nossa função v ( y ) :

v y : X = 1 - y - 1 2 1 / 2

Que se refere a borda direita da cereja.

Passo 2

Belezinha, agora vamos encontrar a parte da metade direita, que se refere a borda do copo, pra isso a gente tem um circulo com raio 4 e o centro é ( 0,4 ) , assim temos a equação do circulo:

x 2 + y - 4 2 = 16

Logo temos a função w ( y ) :

w y : X = 16 - y - 4 2 1 / 2

Passo 3

Show de bolinhas, agora o volume vai ser calculado com a integral:

V = ∫ 0 h π w y 2 - v y 2 d y

→ V = ∫ 0 h π 16 - y - 4 2 - [ 1 - y - 1 2 ] d y

→ V = ∫ 0 h π 15 + y - 1 2 - y - 4 2 d y

→ V = π ∫ 0 h 15 + 3 ( - 5 + 2 y ) d y

→ V = π ∫ 0 h 6 y   d y

Resolvemos a integral bem simples:

V = π ∫ 0 h 6 y   d y

→ V = π y 2 2 0 h

→ V = 3 π h 2

Passo 4

Bom gente, ainda não acabamos, mas quase, falta a gente enconr quando a cereja ficar totalmente submerssa.

Olha, nesse caso até os 2   c m de altura, o volume vai ser encontrado pela região entre v ( y ) e w ( y ) , e o volume a mais pode ser calculado pela curva w ( y ) . Logo o total do volume ficaria:

V = ∫ 0 2 π w y 2 - v y 2 d y + ∫ 2 L π   w y 2   d y

Lembra que já resolvemos a primeira integral no passo anterior?

→ V = 3 π 2 2 + ∫ 2 L π   w y 2   d y

→ V = 12 π + ∫ 2 L π   w y 2   d y

→ V = 12 π + π ∫ 2 L   w y 2   d y

→ V = 12 π + π ∫ 2 L   16 - y - 4 2   d y

→ V = 12 π + π ∫ 2 L   8 y - y 2   d y

→ V = 12 π + π 4 y 2 - y 3 3 2 h

→ V = π 3 12 h 2 - h 3 - 4

Passo 5

Por fim, a gente pode deduzir que as equações para o volume, que são parar quando a cereja está parcialmente submersa ( 0 ≤ h < 2 ) e quando está totalmente submersa ( 2 ≤ h ≤ 4 ):

V = b π h 2 ,                                                                   0 ≤ h < 2 π 3 [ 12 h 2 - h 3 - 4 ] ,     2 ≤ h ≤ 4

Resposta

V = b π h 2 ,                                                                   0 ≤ h < 2 π 3 [ 12 h 2 - h 3 - 4 ] ,     2 ≤ h ≤ 4

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