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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 23

Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada.

∂ w ∂ r e ∂ w ∂ s   para w = f x ,   y , x = g r , y = h s

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem com vocês? Antes de iniciarmos este exercício, vamos relembrar a Regra da Cadeia de uma variável independente e duas variáveis intermediárias.

Se w = f x ,   y é diferenciável e se x = x t , y = y t forem funções deriváveis de t , então a composta w = f x t ,   y t será uma função derivável de t :

d w d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

O diagrama de árvore na margem propõe uma maneira conveniente de se lembrar da regra da cadeia. A “verdadeira” variável independente na função composta é t , enquanto x e y são variáveis intermediárias (controladas por t ) e z é a variável dependente.

De acordo com o enunciado, temos os seguintes dados:

Passo 2

Como temos duas variáveis independentes, teremos dois diagramas de árvore. Primeiro iremos fazer em relação r :

A fórmula para a Regra da Cadeia para ∂ w / ∂ r :

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ r

Porém sabemos que ∂ y / ∂ r = 0 , logo:

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x d x d r

Passo 3

E referente a s , temos o seguinte diagrama:

Sendo assim, a fórmula para a Regra da Cadeia para ∂ w / ∂ s :

∂ w ∂ s = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ s

Porém sabemos que ∂ x / ∂ s = 0 , logo:

∂ w ∂ s = ∂ w ∂ y d y d s

Tchau galerinha!

Resposta

∂ w ∂ r = ∂ w ∂ x d x d r , desde que d y d r = 0

∂ w ∂ s = ∂ w ∂ y d y d s , desde que d x d s = 0

Exercícios de Livros Relacionados

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Verificar a regra da cadeia (d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t) Para a função f (x , y) = s e n ( 2 x + 5 y ) x = c o s t y = s e n t
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = (x)/(y) , x = e^(- t) , y = l n t
Verificar a regra da cadeia (d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t) Para a função f (x , y) = ln (x^2 + y^2) x = 2 t + 1 y = 4 t^2 - 5
Seja h t = f e 2 t , c o s t , onde f : R 2 →R é uma diferenciavel a) Determinar h ' t em função das derivadas parciais de f b)Sabendo que ∂ f ∂ x e 2 π , - 1 = 1 e 2 π , determinar h ' π .