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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 32

Encontre os valores de ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y nos pontos nos Exercícios 29-32.

x e y + y e z + 2 ln ⁡ x - 2 - 3 ln ⁡ 2 = 0 ,             1 , ln ⁡ 2 , ln ⁡ 3

Passo 1

Oi pessoal, vem comigo!

Suponha que F x ,   y ,   z defina a variável z implicitamente como uma função z = f x ,   y . Então, para todo x ,   y no domínio de f , temos F x ,   y ,   f x ,   y = 0 . Sempre que F z ≠ 0 , para obter as derivadas parciais z = f x ,   y :

Sabemos que:

y = e u → y ' = u ' e u y = ln ⁡ u → y ' = u ' u    

Sendo assim, vamos calcular a derivada em x :

F x = e y + 2 x

Em y :

F y = x e y + e z

E em z :

F z = y e z

Passo 2

Então para ∂ z / ∂ x :

∂ z ∂ x = - e y + 2 x y e z

Substituindo o ponto 1 , ln ⁡ 2 , ln ⁡ 3 :

∂ z ∂ x = - e ln ⁡ 2 + 2 1 ln ⁡ 2 e ln ⁡ 3 = - 2 + 2 3 ln ⁡ 2

∂ z ∂ x = - 4 3 ln ⁡ 2

Passo 3

E, por fim ∂ z / ∂ y :

∂ z ∂ y = - x e y + e z y e z

Substituindo os pontos:

∂ z ∂ y = - 1 ∙ e ln ⁡ 2 + e ln ⁡ 3 e ln ⁡ 3 ln ⁡ 2 = - 2 + 3 3 ln ⁡ 2

∂ z ∂ y = - 5 3 ln ⁡ 2

Até mais galerinha!

Resposta

∂ z ∂ x = - 4 3 ln ⁡ 2 , ∂ z ∂ y = - 5 3 ln ⁡ 2 .

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