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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 31

Encontre os valores de ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y nos pontos nos Exercícios 29-32.

sen ⁡ x + y + sen ⁡ y + z + sen ⁡ x + z = 0 ,             π ,   π ,   π

Passo 1

Olá pessoal, vamos resolver este exercício!

Suponha que F x ,   y ,   z defina a variável z implicitamente como uma função z = f x ,   y . Então, para todo x ,   y no domínio de f , temos F x ,   y ,   f x ,   y = 0 . Sempre que F z ≠ 0 , para obter as derivadas parciais z = f x ,   y :

Sabemos que:

y = sen ⁡ u → y ' = u ' cos ⁡ u

Sendo assim, vamos calcular a derivada em x :

F x = cos ⁡ x + y + cos ⁡ x + z

Em y :

F y = cos ⁡ x + y + cos ⁡ y + z

E em z :

F z = cos ⁡ y + z + cos ⁡ x + z

Passo 2

Então para ∂ z / ∂ x :

∂ z ∂ x = - cos ⁡ x + y + cos ⁡ x + z cos ⁡ y + z + cos ⁡ x + z

E ∂ z / ∂ y :

∂ z ∂ y = - cos ⁡ x + y + cos ⁡ y + z cos ⁡ y + z + cos ⁡ x + z

Passo 3

Substituindo o ponto π ,   π ,   π :

∂ z ∂ x = - cos ⁡ 2 π + cos ⁡ 2 π cos ⁡ 2 π + cos ⁡ 2 π = - 1

E, por fim:

∂ z ∂ y = - cos ⁡ 2 π + cos ⁡ 2 π cos ⁡ 2 π + cos ⁡ 2 π = - 1

Tchau pessoal.

Resposta

∂ z / ∂ x = - 1 , ∂ z / ∂ y = - 1 .

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