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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.4 - Ex. 30

Encontre os valores de ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y nos pontos nos Exercícios 29-32.

1 x + 1 y + 1 z - 1 = 0 ,             2 ,   3 ,   6

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá resolver este exercício juntos!

Suponha que F x ,   y ,   z defina a variável z implicitamente como uma função z = f x ,   y . Então, para todo x ,   y no domínio de f , temos F x ,   y ,   f x ,   y = 0 . Sempre que F z ≠ 0 , para obter as derivadas parciais z = f x ,   y :

Sabendo disso, vamos calcular a derivada em x :

F x = - 1 x 2

Em y :

F y = - 1 y 2

E em z :

F z = - 1 z 2

Passo 2

Então para ∂ z / ∂ x :

∂ z ∂ x = - - 1 x 2 - 1 z 2 = - - 1 x 2 ∙ - z 2

∂ z ∂ x = - z 2 x 2

Substituindo o ponto 2 ,   3 ,   6 :

∂ z ∂ x = - 6 2 2 2 = - 9

Passo 3

E, por fim ∂ z / ∂ y :

∂ z ∂ y = - - 1 y 2 - 1 z 2 = - - 1 y 2 ∙ - z 2

∂ z ∂ x = - z 2 y 2

Substituindo:

∂ z ∂ y = - 6 2 3 2 = - 4

Tchau pessoal.

Resposta

∂ z / ∂ x = - 9 , ∂ z / ∂ y = - 4 .

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