Se f(u, v, w) é diferenciável e u = x - y , v = y - z e w = z - x , mostre que

\∂f/∂x + ∂f/∂y + ∂f/∂z = 0

Passo 1

Oi pessoal, com os dados do enunciado, conseguimos fazer os diagramas de árvore, para as três variáveis independentes:

Com isso, através da Regra da Cadeia, temos:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y

∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ z + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ z + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ z

Com os valores dados no enunciado u = x - y v = y - z w = z - x , conseguimos calcular as derivadas:

Passo 2

Sendo assim:

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x + ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y + ∂ f ∂ u ∂ u ∂ z + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ z + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ z

= ∂ f ∂ u ∙ 1 + ∂ f ∂ v ∙ 0 + ∂ f ∂ w ∙ - 1 + ∂ f ∂ u ∙ - 1 + ∂ f ∂ v ∙ 1 + ∂ f ∂ w ∙ 0 + ∂ f ∂ u ∙ 0 + ∂ f ∂ v ∙ - 1 + ∂ f ∂ w ∙ 1

= ∂ f ∂ u - ∂ f ∂ w - ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v - ∂ f ∂ v + ∂ f ∂ w

= ∂ f ∂ u - ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v - ∂ f ∂ v + ∂ f ∂ w - ∂ f ∂ w

= 0

Logo:

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

Resposta no Passo.

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