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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 2b

Considerando que a superfície S é obtida girando a curva z = x 2 , 0 ≤ x ≤ 4 , em torno do eixo z , pede-se

b) A área da porção de S compreendida entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

No item a), encontramos que

φ r , t = r cos ⁡ t ,   r sin ⁡ t ,   r 2 ,   0 ≤ r ≤ 4 ,   0 ≤ t ≤ 2 π

é uma possível parametrização para a superfície.

Agora, queremos encontrar a área dessa superfície, porém com a limitação de estarmos entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 . Vamos ver o que significa essa limitação!

Passo 2

Da nossa parametrização, tiramos que x = r cos ⁡ t e y = r sin ⁡ t . Assim, temos:

  • Primeira limitação:

    • x 2 + y 2 = 1 ⟹ r cos ⁡ t 2 + r sin ⁡ t 2 = 1 r 2 cos 2 ⁡ t + r 2 sin 2 ⁡ t = 1 r 2 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 r 2 = 1 r = 1

    Assim, para estarmos “fora” do cilindro x 2 + y 2 = 1 , devemos tomar a condição de r ≥ 1 .

  • Segunda limitação:

x 2 + y 2 = 4 ⟹ r cos ⁡ t 2 + r sin ⁡ t 2 = 4 r 2 cos 2 ⁡ t + r 2 sin 2 ⁡ t = 4 r 2 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 4 r 2 = 4 r = 2

Assim, para estarmos “dentro” do cilindro x 2 + y 2 = 4 , devemos tomar a condição de r ≤ 2 .

Logo, as limitações dadas nos impõem que 1 ≤ r ≤ 2 !!

Passo 3

Agora, como fazemos para calcular a área de uma figura? Se temos a parametrização dela, deveremos calcular a integral:

A = ∬ D ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ t   d r   d t

onde

D = r , t ∈ R 2 :   1 ≤ r ≤ 2 ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Então, vamos começar calculando cada derivada.

Passo 4

∂ φ ∂ r = ∂ ∂ r r cos ⁡ t , ∂ ∂ r r sin ⁡ t , ∂ ∂ r r 2 ∂ φ ∂ r = cos ⁡ t ∂ ∂ r r , sin ⁡ t ∂ ∂ r r ,   2 r ∂ φ ∂ r = cos ⁡ t , sin ⁡ t , 2 r

Também,

∂ φ ∂ t = ∂ ∂ t r cos ⁡ t , ∂ ∂ t r sin ⁡ t , ∂ ∂ t r 2 ∂ φ ∂ t = r ∂ ∂ t cos ⁡ t ,   r ∂ ∂ t sin ⁡ t ,   0 ∂ φ ∂ t = - r sin ⁡ t ,   r cos ⁡ t , 0

Agora, segue que:

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ t = i j k cos ⁡ t sin ⁡ t 2 r - r sin ⁡ t r cos ⁡ t 0 ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ t = - 2 r 2 cos ⁡ t ,   - 2 r 2 sin ⁡ t ,   r cos 2 ⁡ t + r sin 2 ⁡ t ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ t = - 2 r 2 cos ⁡ t ,   - 2 r 2 sin ⁡ t ,   r

pois cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 !

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ t = - 2 r 2 cos ⁡ t 2 + - 2 r 2 sin ⁡ t 2 + r 2 ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ t = 4 r 4 cos 2 ⁡ t + 4 r 4 sin 2 ⁡ t + r 2 ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ t = 4 r 4 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t )   + r 2 ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ t = 4 r 4 + r 2 = r 4 r 2 + 1

Passo 5

Assim, temos:

A = ∬ D ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ t   d r   d t A = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r 4 r 2 + 1   d r   d t

Como as integrais acima são independentes, segue que:

A = ∫ 0 2 π d t   ∫ 1 2 r 4 r 2 + 1   d r

Fazendo u = 4 r 2 + 1 ⟹ d u = 8 r   d r ∴ r   d r = d u 8 . Quando r = 1 ⟹ u = 5 ; quando r = 2 ⟹ u = 17 . Assim,

A = 2 π   ∫ 5 17 u d u 8 A = π 4 ∫ 5 17 u 1 2   d t A = π 4 u 3 / 2 3 / 2 5 17 A = π 6 17 17 - 5 5

Resposta

A área é A = π 6 17 17 - 5 5 .

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Dada a equação vetorial r → u , v = ( u cos ⁡ v ,us e nv ,u 2 ) Eliminar os parâmetros u e v determinando a equação cartesiana da superfície
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