Considere o arco da parábola no plano compreendido entre as semi-retas e , com . Seja a superfície obtida girando-se em torno do eixo . Pede-se:
b) A área de .
Passo 1
No item a), descobrimos que:
Como podemos determinar a área da superfície? Quando já sabemos a forma parametrizada da superfície, podemos garantir que:
onde será a região do plano tal que:
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas:
Também,
Passo 3
Assim, temos:
Logo,
Passo 4
Estamos acabando... agora falta calcular a integral:
Como essas integrais são independentes, podemos fazer o seguinte:
Para calcular a última integral, façamos:
Quando ; quando . Assim,
Ufa... :D
Resposta
A área da superfície vale .