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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 1b

Considere γ o arco da parábola z = 3 - y 2 no plano y z compreendido entre as semi-retas z = z = 2 y e z = 11 2 y , com y ≥ 0 . Seja S a superfície obtida girando-se γ em torno do eixo z . Pede-se:

b) A área de S .

Passo 1

No item a), descobrimos que:

φ r ,   θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   3 - r 2 ,     1 2 ≤ r ≤ 1 ,         0 ≤ θ ≤ 2 π

Como podemos determinar a área da superfície? Quando já sabemos a forma parametrizada da superfície, podemos garantir que:

A = ∬ D ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ   d r   d θ

onde D será a região do plano r ,   θ tal que:

D = r , θ ∈ R 2 : 1 2 ≤ r ≤ 1 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas:

∂ φ ∂ r = ∂ ∂ r r cos ⁡ θ , ∂ ∂ r r sin ⁡ θ , ∂ ∂ r 3 - r 2 ∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ ∂ ∂ r r , sin ⁡ θ ∂ ∂ r r ,   - 2 r ∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , - 2 r

Também,

∂ φ ∂ θ = ∂ ∂ θ r cos ⁡ θ , ∂ ∂ θ ( r sin ⁡ θ ) , ∂ ∂ θ 3 - r 2 ∂ φ ∂ θ = r ∂ ∂ θ cos ⁡ θ ,   r ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ,   0 ∂ φ ∂ θ = - r sin ⁡ θ ,   r cos ⁡ θ , 0

Passo 3

Assim, temos:

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = i j k cos ⁡ θ sin ⁡ θ - 2 r - r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0 ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = 2 r 2 cos ⁡ θ ,   2 r 2 sin ⁡ θ ,   r cos 2 ⁡ θ + r sin 2 ⁡ θ ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = 2 r 2 cos ⁡ θ ,   2 r 2 sin ⁡ θ ,   r

Logo,

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = 2 r 2 cos ⁡ θ 2 + 2 r 2 sin ⁡ θ 2 + r 2 ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = 4 r 4 cos 2 ⁡ θ + 4 r 4 sin 2 ⁡ θ + r 2 ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = 4 r 4 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + r 2 ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = 4 r 4 + r 2 ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = r 2 4 r 2 + 1 = r 4 r 2 + 1

Passo 4

Estamos acabando... agora falta calcular a integral:

A = ∬ D ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ   d r   d θ A = ∫ 0 2 π ∫ 1 / 2 1 r 4 r 2 + 1   d r   d θ

Como essas integrais são independentes, podemos fazer o seguinte:

A = ∫ 0 2 π d θ ∫ 1 / 2 1 r 4 r 2 + 1   d r = 2 π   ∫ 1 / 2 1 r 4 r 2 + 1   d r

Para calcular a última integral, façamos:

4 r 2 + 1 = t ⟹ 8 r   d r = d t ∴ r   d r = d t 8

Quando r = 1 2 ⟹ t = 2 ; quando r = 1 ⟹ t = 5 . Assim,

A = 2 π   ∫ 2 5 t d t 8 A = π 4 ∫ 2 5 t 1 2   d t A = π 4 t 3 / 2 3 / 2 2 5 = π 6 5 5 - 2 2

Ufa... :D

Resposta

A área da superfície vale A = π 6 5 5 - 2 2 .

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Calcular a área da parte do paraboloide z = 4 - ( x 2 + y 2 ) acima do plano x y
Calcular a área da superfície plana x / 2 + z = 4 recortada pelo cone z = x 2 + y 2 .
Calcular a área da superfície do tetraedro cujas faces são partes dos planos z = 0 , y = 0 , x + 4 y + 2 z = 8 e - 2 x + 4 y + 2 z = 8