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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 51

Considere uma caixa retangular fechada com uma base quadrada, conforme mostrado na figura a seguir. Se x é medido

com erro de no máximo 2% e y é medido com erro de no máximo 3%, utilize uma diferencial para calcular o erro percentual

correspondente no cálculo

a. da superfície da área da caixa

b. do volume da caixa

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício nos é exposto uma caixa retangular com erro de medição máximo em x de 2 % e em y de 3 % . Descobriremos então o erro quando computamos(a) a área superficial, e(b) o volume

Passo 2

Do enunciado temos que:

d x x ≤ 0,02 , d y y ≤ 0,03

Passo 3

(a) A área superficial da caixa é dada pela função:

S = 2 x 2 + 4 x y

Diferenciando teremos:

d S = ( 4 x + 4 y ) d x + 4 x d y d S = 4 x 2 + 4 x y d x x + 4 x y d y y d S ≤ 4 x 2 + 4 x y ( 0,02 ) + ( 4 x y ) ( 0,03 ) d S = 0,04 2 x 2 + 0,05 ( 4 x y ) d S ≤ 0,05 2 x 2 + 0,05 ( 4 x y ) d S = ( 0,05 ) 2 x 2 + 4 x y d S = 0,05 S

Passo 4

(b) O volume da caixa é dado por:

V = x 2 y

Diferenciando então chegaremos a:

d V = 2 x y d x + x 2 d y d V = 2 x 2 y d x x + x 2 y d y y d V ≤ 2 x 2 y ( 0,02 ) + x 2 y ( 0,03 ) d V = 0,07 x 2 y d V = 0,07 V

Resposta

a) d S = 0,05 S

b) d V = 0,07 V

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,y ) da função naquele ponto. f x ,y = 1 + x ln ⁡ x y - 5 ( 2 ,3 )
Verifique a aproximação linear em ( 0 ,0 ) . y - 1 x + 1 ≈ x + y - 1