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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 31

Considere duas retas paralelas r e s. Sejam A e C dois pontos distintos de r e B um ponto de s

Determine Q na reta s de modo que a soma das áreas dos triângulos APC e QPB seja mínima

Passo 1

Temos que achar a equação e mininiza-la para o caso destri triangulo

Passo 2

Primeiro temos que calcular a area em nos termos dados

Area do triangulo A P C = A 1 = A C h 1 2

Area do triangulo Q P B = A 2 = Q B h 2 2

Onde h 1 e h 2 são as alturas e a distancia entre as retas é uma distancia “d” constante

Passo 3

Como os triangulos são semelhantes, logo:

A C h 1 = Q B h 2 → Q B = A C h 2 h 1

E também

h 1 + h 2 = d → h 2 = d - h 1

Portanto

A 1 + A 2 = A C h 1 2 +   Q B h 2 2 = A C h 1 2 +   A C h 2 h 2 h 1 2 = A C h 1 2 +   A C d - h 1 2 h 1 2 = A C 2   2 h 1 + d 2 h 1 - 2 d

Passo 4

Para mininizar basta derivar e igualar a zero

d ( A 1 + A 2 ) d h 1 = d A C 2   2 h 1 + d 2 h 1 - 2 d = 0

Logo derivando

A C 2 2 - d 2 h 1 2 = 0   → h 1 = d 2

Portanto como temos h 1 podemos achar h 2 e depois achar a distancia QB logo conseguimos determinar Q

Resposta

h 1 = d 2

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