19. Considere a equação diferencial linear não homogênea de ordem

em que são constantes. Verifique que, se tiver a forma

então a substituição reduz a à forma

em que são constantes. Determine e em função dos e de . Assim, o problema de determinar uma solução particular da equação original é reduzido ao problema mais simples de determinar uma solução particular de uma equação com coeficientes constantes e contendo um polinômio como termo não homogêneo.

Para começar a resolver este problema, vamos considerar a equação diferencial linear não-homogénea de ordem :

 Vamos também supor que seja uma solução para a equação diferencial dada acima. Sendo assim, podemos diferenciar a equação da seguinte forma:

Podemos ver que a denunciação está formando um padrão, assim, temos que:

Se considerarmos então temos que . Assim temos que:

Agora, vamos substituir o resultado encontrado no passo anterior na equação diferencial linear não-homogénea de ordem abaixo. Assim temos:

Podemos rescrever a equação diferencial de uma forma mais compacta, onde . Assim temos:

Podemos escrever a expressão a direita da seguinte forma:

Do lado direito da equação acima, podemos dizer que ela tema a seguinte forma:

Assim, podemos fazer a seguinte relação:

E consequentemente:

Os coeficientes pode ser determinado coletando os termos semelhantes no somatório duplo na equação

Por exemplo, é o coeficiente de . Assim, temos que o único termo que contém é quando e. Portanto:

Por outro lado, é o coeficiente de . O somatório interno em

Contém termos com , dados por (quando ), para cada . Consequentemente

Então, os termos que contêm são:

Os termos que contêm  são:

E assim sucessivamente