Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 39e
Considere a equação de Euler . Encontre condições sobre e para que:
(e) Todas as soluções permaneçam limitadas quando e quando .
Passo 1
(e) Fala Galera!!
Nos foi dado a seguinte equação diferencial:
Para resolver essa questão, vamos supor que seja solução da equação diferencial.
Passo 2
Pela suposição feita no passo anterior, precisamos encontrar e para substituir na equação. Temos que:
Então
Substituindo na equação diferencial, temos a seguinte expressão:
Simplificando
Temos que , então, para que a equação acima seja satisfeita, precisamos que
Por Bhaskara, temos o seguinte:
Passo 3
Pela equação acima para encontrar , podemos perceber que surgem 3 casos.
Caso (1)
Neste caso, as raízes são complexas e temos que:
E a solução da equação diferencial é dada pela equação 27
Onde
Substituindo o resultado encontrado, temos o seguinte:
Passo 4
Caso (2)
Neste caso, as raízes são reais e iguais e temos que:
E a solução da equação diferencial é dada pela equação 26
Substituindo o resultado encontrado, temos o seguinte:
Passo 5
Caso (3)
Neste caso, as raízes são reais e diferentes e a solução da equação diferencial é dada pela equação 25
Substituindo o resultado encontrado, temos o seguinte:
Passo 6
Para o caso (1) descrito anteriormente:
Como as funções trigonométricas são limitadas, para que permaneça limitada quando e quando, precisamos que:
Isso implica que e .
Para o caso (2) descrito anteriormente:
Para que permaneça limitada quando e quando, precisamos que:
Isso implica que e .
Para o caso (3) descrito anteriormente:
Para que permaneça limitada quando e quando, precisamos que:
E
Rescrevendo
Isso implica que e .
Assim, combinando todos os casos discutidos acima, temos que todas as soluções são limitadas quando e quando precisamos que e .
Resposta
Caso (1) e
Caso (2) e
Caso (3) e