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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 13b

13. A. Encontre a solução u x ,   y da equação de Laplace no retângulo 0 < x < a , 0 < y < b , que satisfaz as condições de contorno

u 0 ,   y = 0 ,         u a ,   y = f y ,           0 < y < b

u x ,   0 = 0 ,         u y x ,   b = 0 ,           0 ≤ x ≤ a .

Note que esse não é um problema de Dirichlet nem de Neumann, mas um problema misto no qual u é dada em parte da fronteira e sua derivada normal é dada no resto.

Sugestão: Alguma hora vai ser necessário expandir f(y) em uma série envolvendo s e n ( π y / 2 b ) , s e n ( 3 π y / 2 b ) , s e n ( 5 π y / 2 b ) , . . . (veja o Problema 39 da Seção 10.4).

B - Encontre a solução se f ( y )   =   y ( 2 b   –   y ) .

Passo 1

L e t r a   B :

No exercício anterior determinamos a solução da equação de Laplace na região retangular o qual encontramos a seguinte solução:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n senh ⁡ 2 n π - π 2 b x sen ⁡ 2 n π - π 2 b y  

Onde

  b n = 1 b senh ⁡ π 2 n - 1 a 2 b ∫ 0 2 b f y sen ⁡ π 2 n - 1 y 2 b d y

Veja então que encontrar a solução onde...

f ( y )   =   y ( 2 b   –   y ) .

Nada mais é do que resolver essa integração aí obtendo os valores de c k . Vamos nessa?

Passo 2

Essa integral pode ser resolvida por partes:

∫     f y sen ⁡ π 2 n - 1 y 2 b d y

Onde y 2 b   –   y = 2 b y - y 2 será a nossa função u enquanto que o d v será o seno:

u = y ( 2 b   –   y )               e               d v = sen ⁡ π 2 n - 1 y 2 b d y

d u = 2 b - 2 y   d y               e               v = - cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b π 2 n - 1 2 b

∫     f y sen ⁡ π 2 n - 1 y 2 b d y = - y 2 b - 2 y 2 b cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b π 2 n - 1 - ∫     - cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b π 2 n - 1 2 b 2 b - 2 y   d y   →

∫     f y sen ⁡ π 2 n - 1 y 2 b d y = - y ( 2 b   –   y ) 2 b cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b π 2 n - 1 + 2 b π 2 n - 1 ∫     cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b 2 b - 2 y   d y   →

Usando uma nova integração por partes...

u = 2 b - 2 y               e               d v = cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b d y

d u = - 2   d y               e               v = 2 b π 2 n - 1 sin ⁡ π 2 n - 1 y 2 b

Então...

∫     cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b 2 b - 2 y   d y = 2 b 2 b - 2 y π 2 n - 1 sin ⁡ π 2 n - 1 y 2 b - ∫     2 b π 2 n - 1 sin ⁡ π 2 n - 1 y 2 b - 2   d y   →

∫     cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b 2 b - 2 y   d y = 2 b 2 b - 2 y π 2 n - 1 sin ⁡ π 2 n - 1 y 2 b + 4 b π 2 n - 1 ∫     sin ⁡ π 2 n - 1 y 2 b d y   →

∫     cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b 2 b - 2 y   d y = 2 b 2 b - 2 y π 2 n - 1 sin ⁡ π 2 n - 1 y 2 b - 8 b 2 π 2 2 n - 1 2 cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b   →

Finalmente a integral que queremos pra se ter b n então é...

∫     f y sen ⁡ π 2 n - 1 y 2 b d y = - y ( 2 b   –   y ) 2 b cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b π 2 n - 1 + 2 b π 2 n - 1 2 b 2 b - 2 y π 2 n - 1 sin ⁡ π 2 n - 1 y 2 b - 8 b 2 π 2 2 n - 1 2 cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b   →

∫     f y sen ⁡ π 2 n - 1 y 2 b d y = - y ( 2 b   –   y ) 2 b cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b π 2 n - 1 + 4 b 2 2 b - 2 y π 2 2 n - 1 2 sin ⁡ π 2 n - 1 y 2 b - 16 b 3 π 3 2 n - 1 3 cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b   →

Substituindo os limites de 0 a 2 b :

- y ( 2 b   –   y ) 2 b cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b π 2 n - 1 + 4 b 2 2 b - 2 y π 2 2 n - 1 2 sin ⁡ π 2 n - 1 y 2 b - 16 b 3 π 3 2 n - 1 3 cos ⁡ π 2 n - 1 y 2 b 0 2 b     →

Simplificando então...

4 b 2 2 b - 2 y π 2 2 n - 1 2 sin ⁡ π 2 n - 1 2 b 2 b - 16 b 3 π 3 2 n - 1 3 cos ⁡ π 2 n - 1 2 b 2 b - 0 + 0 - 16 b 3 π 3 2 n - 1 3 cos ⁡ 0     →

4 b 2 2 b - 2 y π 2 2 n - 1 2 sin ⁡ π 2 n - 1 - 16 b 3 π 3 2 n - 1 3 cos ⁡ π 2 n - 1 + 16 b 3 π 3 2 n - 1 3     →

Lembrando-se que cos ⁡ π 2 n - 1 = - 1 para todo n inteiro e sin ⁡ π 2 n - 1 = 0 ...

16 b 3 π 3 2 n - 1 3 + 16 b 3 π 3 2 n - 1 3     →

32 b 3 π 3 2 n - 1 3

Logo, podemos falar que...

b n = 32 b 3 π 3 2 n - 1 3

Resposta

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n senh ⁡ 2 n π - π 2 b x sen ⁡ 2 n π - π 2 b y  

b n = 32 b 3 π 3 2 n - 1 3

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Se y 1 = J 0 ( x ) for uma solução para a equação de Bessel de ordem zero, verifique que uma outra solução é: y 2 = J 0 x ln ⁡ x + x 2 4 - 3 x 4 128 + 11 x 6 13824
Use (7) com v = m , em que m é um inteiro não negativo, para mostrar que J m - x = - 1 m J m ( x )
Use (8) com v = m , em que m é um inteiro positivo, e o fato de que 1 Γ N = 0 , em que N é um inteiro negativo, para mostrar que: J - m x = - 1 m J m ( x )