Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 28
Reações Químicas. Uma reação química de segunda ordem envolve a interação (colisão) de
uma molécula de uma substância com uma molécula de uma substância para produzir uma molécula de uma nova substância ; isto é denotado por . Suponha que e , onde , são as concentrações iniciais de e de , respectivamente, e seja a concentração de no instante t. Então e são as concentrações de e de no instante , e a taxa segundo a qual a reação ocorre é dada pela equação
em que α é uma constante positiva.
(a) Se , determine o valor limite de quando sem resolver a equação
diferencial. Depois resolva o problema de valor inicial e encontre para qualquer .
(b) Se as substâncias e são a mesma, então , e a Eq. (i) é substituída por
Se , determine o valor limite de quando sem resolver a equação diferencial.
Depois resolva o problema de valor inicial e encontre para qualquer .
Passo 1
Meus deus, que questão gigante. Nem quero mais faze-la, mas fazer o que...
Passo 2
(a) Em uma dada equação, quando buscando pontos de equilíbrio, queremos saber quando a derivada é nula, ou seja
Assim temos
Assim temos que nosso primeiro ponto de equilíbrio é dado em
O outro é dado por
Ou seja
Com
Passo 3
(b) Se os pontos em torno de um ponto de equilíbrio forem maiores que zero em ambos os lados, então temos estabilidade. Caso sejam menores que zero, temos instabilidade.
Então vamos primeiro em
Pela esquerda
O termo entre parênteses será maior que 1, assim teremos que , onde
Entretanto não podemos esquecer o fora do parênteses que será sempre negativo para valores menores que . Desta forma temos que
Já para o limite pela direita
O valores dentro do parênteses será menor que 1, assim temos que .
Enquanto o fora do parentes será sempre positivo assim temos que
O que torna um ponto instável
Agora para
Temos que assim
O que nos dá que para a derivada é positiva e para a derivada é negativa. Assim temos que é semi-estável (olhar exercício 7).
Passo 4
(c) Como indicado em nosso enunciado, uma produção sustentável é dada pelo produto do empenho pela produção assintoticamanete estável , ou seja
Incrível que o exercício nos deu a resposta.
Passo 5
(d) Para isso basta diferenciar em função de , ou seja
E para maximizar, queremos
Resposta
- e