Sejam u →, v → : Ω ⊂ R^3 → R^3 dois campos vetoriais e φ: Ω → ℝ um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ, u → , v → e prove. (suponha u = P(i) + Q(j) + R(k) e v = P1(i) + Q1(j) + R1(k) ):

  1. r o t (u + v) = r o t (u) + r o t (v)

Passo 1

Estamos supondo suponha u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais.

Daí a gente tem que:

r o t   u → + v → =   i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P + P 1 Q + Q 1 R + R 1

Isso é equivalente a:

= i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R + i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P 1 Q 1 R 1

Ou seja:

= r o t   u → + r o t   v →

Prontinho!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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