Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 9e
Sejam dois campos vetoriais e um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre e prove. (suponha ):
e)
Passo 1
Estamos supondo e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais. Vamos supor ainda que as componentes sejam de classe .
Aqui a gente quer provar que o divergente do rotacional é zero. Vamos começar calculando o rotacional...
Beleza, esse é o rotacional.
Passo 2
Vamos fazer o divergente desse rotacional agora...
Ok. Como as componentes são de classe , nós temos que a ordem de derivação não importa, ou seja:
E então com isso temos que esse divergente calculado ali em cima resulta em .
Provamos então que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: B = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ xe0 ≤ z ≤ 4 } e u → = x y i → + y z j → + z 2 k → .
Seja r → = x i → + y k → + z k → e seja B um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Prove: v o lB = 1 3 ∬ σ r → ⋅ n →d S Onde σ é a fronteira de B com normal exterior n → .
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: e )B é o paralelepípedo 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1e0 ≤ z ≤ 1 e u → = x 3 i → + y 3 j → + z 3 k → .
Seja F → x , y , z = x y 2 i → + x y zj → + z - y 2 z - 1 2 x z 2 k → e seja σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 , sendo n → a normal com componente z ≥ 0 . Calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S .
Seja u → um campo vetorial de classe C 2 num aberto Ω ⊂ R 3 e seja B ⊂ Ω um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Seja σ a fronteira de B , com normal n → apontando para fora de B . Cal