Sejam dois campos vetoriais e um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre e prove. (suponha ):
e)
Passo 1
Estamos supondo e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais. Vamos supor ainda que as componentes sejam de classe .
Aqui a gente quer provar que o divergente do rotacional é zero. Vamos começar calculando o rotacional...
Beleza, esse é o rotacional.
Passo 2
Vamos fazer o divergente desse rotacional agora...
Ok. Como as componentes são de classe , nós temos que a ordem de derivação não importa, ou seja:
E então com isso temos que esse divergente calculado ali em cima resulta em .
Provamos então que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)