Sejam u →, v → : Ω ⊂ R^3 → R^3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ, u→, v→ e prove. (suponha u = P(i) + Q(j) + R(k) e v = P1(i) + Q1(j) + R1(k) ):

e) div(rot(u)) = 0

Passo 1

Estamos supondo u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais. Vamos supor ainda que as componentes sejam de classe C 2 .

Aqui a gente quer provar que o divergente do rotacional é zero. Vamos começar calculando o rotacional...

r o t   u → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

= i → ∂ ∂ y ∂ ∂ z Q R - j → ∂ ∂ x ∂ ∂ z P R + k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y P Q

=   i → ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z + j → ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x + k → ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Beleza, esse é o rotacional.

Passo 2

Vamos fazer o divergente desse rotacional agora...

d i v =   ∂ 2 R ∂ y ∂ x - ∂ 2 Q ∂ z ∂ x + ∂ 2 P ∂ z ∂ y - ∂ 2 R ∂ x ∂ y - ∂ 2 Q ∂ x ∂ z - ∂ 2 P ∂ y ∂ z

Ok. Como as componentes são de classe C 2 , nós temos que a ordem de derivação não importa, ou seja:

∂ 2 R ∂ y ∂ x = ∂ 2 R ∂ x ∂ y

∂ 2 Q ∂ z ∂ x = ∂ 2 Q ∂ x ∂ z

∂ 2 P ∂ z ∂ y = ∂ 2 P ∂ y ∂ z

E então com isso temos que esse divergente calculado ali em cima resulta em 0 .

Provamos então que:

d i v   r o t   u → = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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