Sejam u, v : Ω ⊂ R^3 → R^3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre phi, u, v e prove. (suponha u = P i + Q j + R k e v = P1 i + Q1 j + R1 k ):

b) div (u→ + v→) = div u→ + div v→

Passo 1

Estamos supondo suponha u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais.

Vamos lá, aqui a gente tem:

u → + v → = P + P 1 i → + Q + Q 1 j → + ( R + R 1 ) k →

O divergente dele então é:

∂ ∂ x P + P 1 + ∂ ∂ y Q + Q 1 + ∂ ∂ z R + R 1

Que é o mesmo que:

∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ y + ∂ P 1 ∂ x + ∂ Q 1 ∂ y + ∂ R 1 ∂ z

E isso é a mesma coisa que:

d i v   u → + d i v   v →

Prontinho!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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