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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 52d

Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:

d) z = 2 x 2 - 3 y 2 ; P 1 0 ,   0 ,   0   e   P 2 ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 1

As derivadas parciais de f em relação a x e y são:

∂ z ∂ x = 4 x

∂ z ∂ y = - 6 y

Assim, no ponto P 1 0 ,   0 ,   0 :

∂ z ∂ x 0 ,   0 = 0   e   ∂ z ∂ y 0 ,   0 = 0

O plano tangente no ponto P 1 0 ,   0 ,   0 :

z = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

z = 0 + 0 ⋅ x - 0 + 0 ⋅ ( y - 0 )

z = 0

Passo 2

No ponto P 2 1 ,   1 ,   - 1 :

∂ f ∂ x 1 ,   1 = 4

∂ f ∂ y 1 ,   1 = - 6

O Plano tangente no ponto P 2 1 ,   1 ,   - 1 é:

z = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

z = - 1 + 4 ⋅ x - 1 - 6 ⋅ ( y - 1 )

4 x - 6 y - z = - 1

Resposta

z = 0 ;   4 x - 6 y - z = - 1 .

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