Em cada um dos problemas de 1 a 6 : ( a ) Expresse a solução geral do sistema de equações dado como combinação e de funções reais ( b ) Desenhe, também um campo de direções, esboce algumas trajetórias e descreva o comportamento das soluções quando t → ∞ x ' = - 1 - 4 1 - 1 x

x = c 1 2 cos ⁡ 2 t s e n2 t e - t + c 2 - 2s e n2 tcos ⁡ 2 t e - t

Enunciado

Descobrindo o valor dos autovalores desse sistema nós teremos:

Fazendo a determinante temos:

Fazendo Bhaskara encontramos raízes iguais a:

E como temos raízes complexas com parte real igual então nossa solução fica da seguinte maneira:

Sem nenhum valor de constante.

Então o autovetor para será:

E que nos dará:

E conseguimos ver uma relação igual a:

Uma relação entre ambos será:

O que dá certo se substituirmos na linha de baixo.

De forma que a primeira solução será igual a:

Arrumando a casa nós teremos:

Se fizermos o outro autovalor ( ) nós encontraremos um autovetor igual a:

E uma outra solução igual a:

Portanto podemos pegar qualquer uma das soluções como soluções do nosso sistema no caso vamos pegar a primeira e que será:

Agora plotando o campo de direções nós iremos ter:

Já este conseguimos dizer que quando a solução tende a zero, pois todos os valores iniciais tendem a origem.

Isso é muito por conta do termo