Resolva a equação y' = x / raiz(x^2 + 1) * e^y e trace vários membros da família de soluções (se seu SCA fizer gráficos implícitos). Como muda a curva solução quando a constante C varia?

Passo 1

Bom, pessoal. A gente precisa resolver uma equação separável, se liga só:

d y d x = x x 2 + 1 y e y

y e y d y =   x x 2 + 1   d x

Passo 2

Como já separamos a equação, vamos integrar cada lado, né galera?

∫ y e y d y = ∫ x x 2 + 1   d x + C

Vamos nos concentrar na primeira integral, que faremos por partes. Relembre-se:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Nesse caso, u = y     e     d v = e y   d y   :

∫ y e y d y = y e y - ∫ e y d y = y e y - e y

Passo 3

Agora olha pra segunda integral, uma substituição talvez resolve nosso problema, bora conferir?

A gente faz u = x 2 + 1   , então d u = 2 x   d x . Substituindo na integral, fica assim:

∫ x x 2 + 1   d x = ∫ 1 2   u   d u = 1 3 u 3 = 1 3 x 2 + 1 3

Agora que temos os valores das integrais, vamos ver como nossa equação vai ficar:

∫ y e y d y = ∫ x x 2 + 1   d x + C

y e y - e y = 1 3 x 2 + 1 3 + C

Chegamos então a uma equação implícita, ou seja, não dá pra isolar o y .

Passo 4

Agora vamos traçar algumas curvas da família de soluções, para acompanhar a evolução dos gráficos conforme a constante C vai mudando.

Fazemos para os seguinte valores de C :   - 30 ,   - 5 , - 1 ,   0 ,   50 .

Resposta

y e y - e y = 1 3 x 2 + 1 3 + C

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