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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.6 - Ex. 13

Considere uma barra com 40 cm de comprimento cuja temperatura inicial é dada por u ( x , 0 ) = x ( 60 - x ) / 30 . Suponha que α 2 = 1 / 4 c m 2 / s e que ambas as extremidades da barra estão isoladas.

  1. Encontre a temperatura u(x, t).
  2. Faça o gráfico de u em função de x para diversos valores de t. Faça, também, o gráfico de u em função de t para diversos valores de x.
  3. Determine a temperatura na barra no estado estacionário.
  4. Determine o intervalo de tempo necessário para que a temperatura em x = 40 fique a 1°C de seu valor no estado estacionário.

Passo 1

Temos:

u ( x , 0 ) = x ( 60 - x ) 30 ,   0   ≤   x   ≤   40

E a solução é dada pelas fórmulas 35 e 37 na página 637:

u ( x , t ) = c 0 2 + ∑ n = 1 ∞ c n e - n ² π ² α ² t L ² c o s ( n π x L )

c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) c o s ( n π x L )

Passo 2

Temos:

L = 40 ,   α ² = 1 4 ,

c 0 = 400 9

e queremos achar c n :

c n = - 160 3 n ² π ² ( 3 + c o s ( n π ) )

Substituímos e achamos:

u ( x , t ) = 200 9 - ∑ n = 1 ∞ 160 3 n ² π ² ( 3 + c o s ( n π ) ) e - n ² π ² t 6400 c o s ( n π x 40 )

Passo 3

Na letra b:

u versus t para x=5,20,35:

u versus x, para t=10.400,800:

Passo 4

Na letra c:

t ⇒ ∞ ,   e - n ² π ² t 6400 ⇒ 0 , então a temperatura em estado permanente é 200 9

Passo 5

Na letra d:

200 9 = 22.222 . . . então nós podemos mover o ponto do gráfico até chegarmos em 22.222 ± 1 pela primeira vez. Podemos ver que o tempo é 1543.1

Resposta

  1. u ( x , t ) = 200 9 - ∑ n = 1 ∞ 160 3 n ² π ² ( 3 + c o s ( n π ) ) e - n ² π ² t 6400 c o s ( n π x 40 )

  3. t ⇒ ∞ ,   e - n ² π ² t 6400 ⇒ 0 , então a temperatura em estado permanente é 200 9
  4. 1543.1
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores. y ' ' + π 2 y = a + x , y 0 = 0
A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s
A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s
30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,( i ) α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 , β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0 i i tem uma solução em termos de uma função de Green y =
A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s