Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 20

Neste problema, esboçamos uma demonstração para a primeiro parte do Teorema : Que autovalores do problema de Sturm-Liouville (1), (2) são simples. Para um dado, suponha que e são duas autofunções linearmente independentes. Calcule o wronskiano e use as condições de contorno (2) para mostrar que Depois, use os Teoremas 3.3.2 e 3.3.3 para concluir que e não podem ser linearmente independentes como suposto.

Passo 1

Supondo que e são autofunções linearmente independentes associadas com um autovalor O wronskiano é dado por:

Cada uma das autofunções datisfaz as condições de contorno Se ou , então Por outro lado, caso , então:

Passo 2

Pelo teorema , para todo x de 0 a 1. Baseado no teorema , e deve ser linearmente dependentes. Logo deve ser um autovalor simples.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 10 a 13, encontre os coeficientes da expansão em autofunções ∑ n = 1 ∞ a n ϕ n ( x ) da função dada, usando as autofunções normalizadas do problema 4.10. f x = 1 ,0 ≤ x ≤ 1

Em cada um dos problemas de 14 a 18, determine se o problema de valor de contorno dado é autoadjunto.18. ( 1 + x 2)y ' ' + 2 x y ' + y = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 ,y ( 1 ) + 2 y ' ( 1 ) = 0

Em cada um dos problemas de 10 a 13, encontre os coeficientes da expansão em autofunções ∑ n = 1 ∞ a n ϕ n ( x ) da função dada, usando as autofunções normalizadas do problema 4.12. f x = 1 - x ,0 ≤ x

Em cada um dos problemas de 10 a 13, encontre os coeficientes da expansão em autofunções ∑ n = 1 ∞ a n ϕ n ( x ) da função dada, usando as autofunções normalizadas do problema 4.11. f x = x ,0 ≤ x ≤ 1

Em cada um dos problemas de 10 a 13, encontre os coeficientes da expansão em autofunções ∑ n = 1 ∞ a n ϕ n ( x ) da função dada, usando as autofunções normalizadas do problema 4.13. f x = 1 ,0 ≤ x ≤ 1