Considere o problema

- (x * y')' + (k^2 * y) / x = λxy,

y, y' limitados quando x → 0, y(1) = 0,

onde k é um intervalo positivo.

a) Usando a substituição y = raiz(λ) x mostre que a equação diferencial dada se reduz a uma equação de Bessel de ordem k (veja o problema 9 da seção 5.8). Uma solução é J_k(t) ; uma segunda solução linear independente, denotada por Y_k(t), é ilimitada quando t → 0

Passo 1

a) Fazendo t = λ x , isso nos da que

d y d x = λ d y d t   e d 2 y d x 2 = λ d 2 y d t 2

A EDO dada pode também ser expressa como

= λ d d t t λ λ d y d t + k 2 λ t = λ t y

ou

- d d t t d y d t + k 2 t = t y  

Uma forma equivalente é dada como

t 2 d y d t + t d y d t + t 2 - k 2 y = 0  

O qua é conhecido como uma equação de Bessel de ordem k.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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