Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 27
Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima, que tem um perímetro constante , é um quadrado.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!
Seja um retângulo de medidas e , de forma que a sua área é dada por e seu perímetro por . A questão nos pede para provar, usando multiplicadores de Lagrange, que se área do retângulo for máxima então
Dessa forma, para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição nós podemos usar a seguinte fórmula
Onde é o nosso multiplicador de Lagrange!
Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de e que satisfaçam essa expressão!
Dessa forma, quando tivermos todos os pontos de interesse, só precisamos procurar pelo ponto onde a condição do enunciado é cumprida!
Passo 2
Seja a função e a restrição , temos então, pelo método de Lagrange, que
Ou ainda
Encontrando as derivadas parciais
De forma que temos o seguinte
Essa expressão nos dá o seguinte sistema
De forma que, de cara, temos
Então provamos o proposto no enunciado!
Resposta
O retângulo de lados e tem área máxima quando