Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima, que tem um perímetro constante p , é um quadrado.

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

Seja um retângulo de medidas x e y , de forma que a sua área é dada por A x , y = x y e seu perímetro por 2 x + 2 y = p . A questão nos pede para provar, usando multiplicadores de Lagrange, que se área do retângulo for máxima então

x = y

Dessa forma, para determinar os valores máximo e mínimo da função A x , y sujeita à restrição g x , y = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ A x , y = λ ⋅ ∇ g x , y

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de x , y e λ que satisfaçam essa expressão!

Dessa forma, quando tivermos todos os pontos de interesse, só precisamos procurar pelo ponto onde a condição do enunciado é cumprida!

Passo 2

Seja a função A x , y = x y e a restrição g x , y = 2 x + 2 y , temos então, pelo método de Lagrange, que

∇ A = λ ∇ g

Ou ainda

( A x , A y )   = λ ( g x , g y )  

Encontrando as derivadas parciais

∂ A ∂ x = ∂ ∂ x x y

A x = y

∂ A ∂ y = ∂ ∂ y x y

A y = x

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x 2 x + 2 y

g x = 2

∂ g ∂ y = ∂ ∂ y 2 x + 2 y

g y = 2

De forma que temos o seguinte

( y , x )   = λ ( 2 , 2 )  

Essa expressão nos dá o seguinte sistema

y = 2 λ

x = 2 λ

De forma que, de cara, temos

x = y

Então provamos o proposto no enunciado!

Resposta

O retângulo de lados x e y tem área máxima quando x = y

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