Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 7
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!
A questão nos dá a função e a restrição , e em seguida nos pede para determinar o valor máximo e mínimo da função usando multiplicadores de Lagrange!
Mas como fazemos isso?
O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função sujeita à restrição nós podemos usar a seguinte fórmula
Onde é o nosso multiplicador de Lagrange!
Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de e que satisfaçam essa expressão!
Dessa forma, quando tivermos todos os pontos de interesse, o valor máximo e o mínimo serão, respectivamente, os pontos que tiverem maior e menor valor de !
Passo 2
A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é
Onde e
Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como
Calculando essas derivadas parciais, encontramos
De forma que ficamos com o seguinte
Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações
E além disso, considerando a restrição também temos
Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter os pontos de interesse e avaliar quem são o máximo e o mínimo da função!
Passo 3
Temos o seguinte sistema
Das três primeiras expressões obtemos
E se substituirmos esses valores na expressão da restrição, temos
De forma que obtemos
Então, substituindo o valor de nas expressões que reescrevemos anteriormente, obtemos os seguintes pontos de interesse
Para
Para
Por fim, testando o valor de nesses pontos temos
Ou seja, é o máximo e é o mínimo.
Resposta
é o máximo e é o mínimo.