Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 3
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.
Aqui a gente quer encontrar os valores máximos e mínimos da função:
Com a restrição:
Utilizando os multiplicadores de Lagrange.
Devemos achar os valores de que satisfaçam a equação
onde e .
Os pares resultantes serão possíveis pontos de máximo ou mínimo de dada a restrição .
O máximo e o mínimo serão, respectivamente, os pontos que tiverem maior e menor valor de .
Passo 2
Vamos então calcular o gradiente:
Ele é dado da seguinte forma:
As derivadas parciais são calculadas derivando em relação a variável em que estamos derivando, e considerando todas as outras como constante:
Com isso em mente a gente obtém o seguinte sistema:
Temos o seguinte sistema:
Passo 3
Em I:
Em II:
Igualando os dois:
Teremos que ou , .
Se , . Então essa solução não serve pra gente.
Se , , então:
Nesse caso teremos os pontos e . Vamos testar esses pontos na função:
Se , , então:
O que é impossível, então não tem solução pra esse caso.
Repare que se você fizer por exemplo:
E a vai ser:
Que vai dar um número muito grande.
Ou seja, não tem valor de máximo dentro dessa restrição, porque podemos fazê-la tão grande quanto a gente queira.
Então, os pontos que achamos são pontos de mínimo.
Resposta
Os possíveis extremos são, então, e . Os dois são pontos de mínimo.