Em relação ao Problema 25, suponha agora que a produção seja fixada em b * L^α * K^(1 - α) = Q , onde Q é uma constante. Quais valores de L e K minimizam a função custo C(L, K) = mL + nK

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicadores de Lagrange com contexto, vamos lá!

A questão mostra pra gente uma adaptação da equação de Cobb-Douglas

C L , K = m L + n K

E em seguida nos pede encontrar o valor mínimo de C dada a restrição em que a produção é uma constante b L α K 1 - α = Q ! E podemos fazer isso com o método dos multiplicadores de Lagrange!

Seja C L , K = m L + n K e g L , K = b L α K 1 - α . O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo da função C L , K sujeita à uma restrição g L , K = Q nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ C L , K = λ ⋅ ∇ g L , K

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de L , K e λ que satisfaçam essa expressão!

E com isso, iremos buscar um ponto ( L ,   K ) igual o proposto no enunciado!

Passo 2

A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é

∇ C = λ ∇ g

Onde C L , K = m L + n K

g L , K = b L α K 1 - α

Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como

( C L , C K )   = λ ( g L , g K )

Encontrando as derivadas parciais em questão, temos

∂ C ∂ L = ∂ ∂ L m L + n K

C L = m

∂ C ∂ K = ∂ ∂ K m L + n K

C K = n

∂ g ∂ L = ∂ ∂ L b L α K 1 - α

g L = α b L α - 1 K 1 - α

∂ g ∂ K = ∂ ∂ K b L α K 1 - α

g K = 1 - α b L α K - α

De forma que ficamos com o seguinte

( m ,   n )   = λ ( α b L α - 1 K 1 - α , 1 - α b L α K - α )

Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações

m = λ α b L α - 1 K 1 - α  

n =   λ 1 - α b L α K - α

E além disso, considerando a restrição também temos

b L α K 1 - α = Q

Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter o ponto de interesse proposto!

Passo 3

Temos então o sistema

m = λ α b L α - 1 K 1 - α  

n =   λ 1 - α b L α K - α

b L α K 1 - α = Q

Podemos isolar o valor de λ na primeira e segunda equações, de forma que obtemos o seguinte

λ =   m α b L α - 1 K 1 - α

λ = n 1 - α b L α K - α

Igualando as duas expressões

m α b L α - 1 K 1 - α = n 1 - α b L α K - α

Ou ainda

m K 1 L - 1 α b L α K - α = n 1 - α b L α K - α

De forma que

L m K α = n 1 - α

Isolando L

L = α n K m ( 1 - α )

Substituindo o valor de L na expressão da restrição

b α n K m ( 1 - α ) α K 1 - α = Q

Isolando K

K = Q b m 1 - α α n α

Agora só precisamos eliminar a variável K da expressão de L ! Substituindo então teremos

L = α n m ( 1 - α ) Q b m 1 - α α n α

Ou ainda

L = Q b m 1 - α α n α - 1

Resposta

K = Q b m 1 - α α n α

L = Q b m 1 - α α n α - 1

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