Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 26

Em relação ao Problema 25, suponha agora que a produção seja fixada em b L α K 1 - α = Q , onde Q é uma constante. Quais valores de L e K minimizam a função custo C L , K = m L + n K

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicadores de Lagrange com contexto, vamos lá!

A questão mostra pra gente uma adaptação da equação de Cobb-Douglas

C L , K = m L + n K

E em seguida nos pede encontrar o valor mínimo de C dada a restrição em que a produção é uma constante b L α K 1 - α = Q ! E podemos fazer isso com o método dos multiplicadores de Lagrange!

Seja C L , K = m L + n K e g L , K = b L α K 1 - α . O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo da função C L , K sujeita à uma restrição g L , K = Q nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ C L , K = λ ⋅ ∇ g L , K

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de L , K e λ que satisfaçam essa expressão!

E com isso, iremos buscar um ponto ( L ,   K ) igual o proposto no enunciado!

Passo 2

A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é

∇ C = λ ∇ g

Onde C L , K = m L + n K

g L , K = b L α K 1 - α

Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como

( C L , C K )   = λ ( g L , g K )

Encontrando as derivadas parciais em questão, temos

∂ C ∂ L = ∂ ∂ L m L + n K

C L = m

∂ C ∂ K = ∂ ∂ K m L + n K

C K = n

∂ g ∂ L = ∂ ∂ L b L α K 1 - α

g L = α b L α - 1 K 1 - α

∂ g ∂ K = ∂ ∂ K b L α K 1 - α

g K = 1 - α b L α K - α

De forma que ficamos com o seguinte

( m ,   n )   = λ ( α b L α - 1 K 1 - α , 1 - α b L α K - α )

Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações

m = λ α b L α - 1 K 1 - α  

n =   λ 1 - α b L α K - α

E além disso, considerando a restrição também temos

b L α K 1 - α = Q

Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter o ponto de interesse proposto!

Passo 3

Temos então o sistema

m = λ α b L α - 1 K 1 - α  

n =   λ 1 - α b L α K - α

b L α K 1 - α = Q

Podemos isolar o valor de λ na primeira e segunda equações, de forma que obtemos o seguinte

λ =   m α b L α - 1 K 1 - α

λ = n 1 - α b L α K - α

Igualando as duas expressões

m α b L α - 1 K 1 - α = n 1 - α b L α K - α

Ou ainda

m K 1 L - 1 α b L α K - α = n 1 - α b L α K - α

De forma que

L m K α = n 1 - α

Isolando L

L = α n K m ( 1 - α )

Substituindo o valor de L na expressão da restrição

b α n K m ( 1 - α ) α K 1 - α = Q

Isolando K

K = Q b m 1 - α α n α

Agora só precisamos eliminar a variável K da expressão de L ! Substituindo então teremos

L = α n m ( 1 - α ) Q b m 1 - α α n α

Ou ainda

L = Q b m 1 - α α n α - 1

Resposta

K = Q b m 1 - α α n α

L = Q b m 1 - α α n α - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.Exercício 43
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.Exercício 51
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.Exercício 42