21 . Considere o problema de valor inicial

y '   =   y 1 / 3 ,   y ( 0 )   =   0

do Exemplo 3 no texto.

(a) Existe uma solução que contém o ponto (1, 1)? Em caso afirmativo, encontre-a.(b) Existe uma solução que contém o ponto (2, 1)? Em caso afirmativo, encontre-a.(c) Considere todas as soluções possíveis do problema de valor inicial dado. Determine o conjunto de valores que essas soluções têm em t = 2

Passo 1

Temos aqui uma equação clássica para ser resolvida pelo Método de Separação de Variáveis. O nome já dá um spoiler sobre o que vamos fazer, então tudo que for y vai para um lado e tudo o que for x vai pro outro. Essa equação é bem tranquilinha de ser resolvida, então vamos devagar e desvendando a solução

y '   =   y 1 / 3

d y d t =   y 1 3  

y - 1 3 d y = d t

Agora integramos em ambos os lados

∫ y - 1 3 d y = ∫ d t

3 2 y 2 3 = t + C

Passo 2

  1. O problema c) agora sim vamos usar os dados de contorno do enunciado

y 0 = 0

O que faz com que nossa equação fique assim

3 2 y 2 3 = t + C

0 = 0 + C

C = 0

Agora vamos descobrir qual é o valor de y quando t = 2

3 2 y 2 3 = 2

y = 4 / 3 3 / 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = 4 / 3 3 / 2

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