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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 40

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

x 3 d 3 y d x 3 + 2 x 2 d 2 y d x 2 - x d y d x + y = 12 x 2 ;       y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + 4 x 2 ,     x > 0

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, a gente quer saber se   y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + 4 x 2 ,       é solução da equação x 3 d 3 y d x 3 + 2 x 2 d 2 y d x 2 - x d y d x + y = 12 x 2 . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Já temos y , vamos descobrir quem é d y d x , d 2 y d x 2 e   d 3 y d x 3 .     Vamos derivar então! Vamos lá...

Passo 2

  y = c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + 4 x 2

Derivando...

d y d x = c 1 + c 2 ln ⁡ x + c 2 + 8 x

Derivando de novo...

d 2 y d x 2 = c 2 x + 8

E de novo...

d 3 y d x 3 = - c 2 x 2

Show! Agora a gente vai substituir isso na equação...

Passo 3

Vamos substituir na equação agora...

x 3 d 3 y d x 3 + 2 x 2 d 2 y d x 2 - x d y d x + y = 12 x 2    

x 3 - c 2 x 2 + 2 x 2 c 2 x + 8 - x c 1 + c 2 ln ⁡ x + c 2 + 8 x + c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + 4 x 2 = 12 x 2

- c 2 x + 2 c 2 x + 16 x 2 - c 1 x - c 2 x ln ⁡ x - c 2 x - 8 x 2 + c 1 x + c 2 x ln ⁡ x + 4 x 2 = 12 x 2

12 x 2 = 12 x 2

Prontinho! Encontramos uma igualdade verdadeira, então a função é solução! 😉

Resposta

É solução.

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe. 4-t 2 y ' + 2 t y = 3 t 2 , y 1 = - 3
Resolva os problemas 1-4 sem consultar o texto. Complete o espaço em branco ou responda verdadeiro ou falso.A equação diferencial y ' = 1 25 - x 2 - y 2 possui uma única solução passando pelo ponto (