Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 21-a
21 . Considere o problema de valor inicial
do Exemplo 3 no texto.
(a) Existe uma solução que contém o ponto (1, 1)? Em caso afirmativo, encontre-a.(b) Existe uma solução que contém o ponto (2, 1)? Em caso afirmativo, encontre-a.(c) Considere todas as soluções possíveis do problema de valor inicial dado. Determine o conjunto de valores que essas soluções têm em t = 2
Passo 1
Temos aqui uma equação clássica para ser resolvida pelo Método de Separação de Variáveis. O nome já dá um spoiler sobre o que vamos fazer, então tudo que for y vai para um lado e tudo o que for x vai pro outro. Essa equação é bem tranquilinha de ser resolvida, então vamos devagar e desvendando a solução
Agora integramos em ambos os lados
Usando nossa condição inicial de que :
Podemos reescrever como:
Como continua sendo uma constante, vamos fazer , beleza? Assim:
Esse surge por conta da raiz quadrada, beleza? Dessa forma, a condição inicial fica:
Só que, você concorda comigo que o único número que elevado a alguma potência resulte em , é o próprio ? Então:
Nossa solução, será:
Repare que isso só é verdade, dentro dos números reais, se né? Senão teríamos a raiz quadrada de um número negativo. Além disso, se , também temos uma solução para esse problema. Então, podemos dizer que para qualquer positivo:
Essas são todas as soluções do problema!
Passo 2
- O problema a) é descobrir se existe uma solução que contenha o ponto . Então, podemos pegar a nossa solução do passo anterior e ver se ela contém esse ponto, substituindo o ponto nela:
Elevando ao quadrado:
Calculando a raiz cúbica dos dois lados:
Opa, como sabemos que , pela definição, esse valor não se encaixa na nossa solução!!
Logo, não há solução que contenha o ponto .
Resposta
Não existe solução.