Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 11
Uma droga é injetada na corrente sanguínea de um paciente a uma taxa constante de gramas por segundo. Simultaneamente, a droga é removida a uma taxa proporcional à quantidade de droga presente no instante . Determine a equação diferencial que governa a quantidade .
Passo 1
Bom, vamos lá processar essas informações
A cada segundo, são acrescentados gramas da droga na corrente sanguínea do paciente. Então, chamando a taxa de droga que entra na corrente sanguínea, ela pode ser dada por
Mas ao mesmo tempo que a droga entra na corrente sanguínea, ela também é removida, o que altera a quantidade . Ta bom, mas qual a taxa que ela é removida?
Ó, o enunciado fala que é uma taxa proporcional a , então chamando de a taxa de droga que é removida, temos
Ou seja:
Onde é uma constante.
Passo 2
Beleza, a taxa de droga que entra no sangue é
E a taxa de droga que sai do sangue é
Agora, qual a taxa de droga presente no sangue?
Ela vai ser dada por
Concorda? Porque a taxa de variação da droga presente no instante , vai ser a taxa de droga que entra menos a taxa de droga que sai, portanto: