Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 17
Um foguete é lançado da superfície da terra verticalmente para cima. Depois de esgotado todo o combustível, a massa do foguete é constante igual a . Use a segunda lei de Newton para o movimento e o fato de que a força da gravidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância para encontrar a equação diferencial da distância , do centro da terra ao foguete, em qualquer instante após a queima total do combustível. Enuncie condições iniciais apropriadas (ao instante ) associadas com essa equação diferencial.
Passo 1
Da segunda lei de Newton, temos:
E da lei da gravitação de Newton, temos:
Vamos usar essas duas leis a nosso favor pra resolver esse problema, beleza?
Passo 2
Seja uma constante proporcional a , temos:
Substituindo os valores:
Onde é a massa da terra
Além disso, temos que a aceleração é a segunda derivada da posição, então:
Dividindo os dois lados por :
Passo 3
Agora, pensando nas condições iniciais, vamos imaginar que quando a queima de combustível se inicial, temos
Então, temos que
Onde é o raio da Terra e é a distância do foguete até o centro da Terra quando se inicia a queima de combustível.
Como a derivada da posição é a velocidade, temos que
Onde é a velocidade no momento em que se inicia a queima de combustível.