Enunciado

A segunda lei de Newton F = m . a pode ser escrita como F = d d t ( m . v ) . Quando a massa de um objeto não é constante, esta última formulação é usada. A massa m ( t ) de um foguete muda enquanto seu combustível é consumido. Se v ( t ) denota sua velocidade no instante t , pode ser mostrado que

- m g = m d v d t - V d m d t ,                   ( 29 )

em que V é a velocidade de escape dos gases em relação ao foguete. Use (29) para encontrar a equação diferencial de v , supondo conhecido que m t = m 0 - a . t e V = - b , em que m 0 ,   a e b são constantes.

Passo 1

Vamos entender melhor: temos

- m g = m d v d t - V d m d t

E queremos encontrar a equação diferencial para v , sendo que para isso nos foram dados que m t = m 0 - a . t e V = - b , certo?

Pra começar, vamos substituir m ( t ) e V na equação diferencial que foi dada:

- m 0 - a . t g = ( m 0 - a . t ) d v d t - ( - b ) d m d t

Mas como m t = m 0 - a . t , então podemos encontrar d m d t derivando m ( t ) em relação a t , aí temos:

d m d t = m ' t = - a

Substituindo:

- m 0 - a . t g = ( m 0 - a . t ) d v d t - ( - b ) ( - a )

Organizando:

m 0 - a . t d v d t = a . b - m 0 - a . t g

m 0 - a . t d v d t = a . b - m 0 . g + a . g . t

Prontinhooo hehehe chegamos na equação diferencial para v !!

Resposta

m 0 - a . t d v d t = a . b - m 0 . g + a . g . t

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