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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 29a

A posição de um determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial.

Encontre a solução deste problema de valor inicial.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos a seguinte relação:

u = e r t

u ' = r e r t

u ' ' = r ² e r t

A amplitude do sistema é dada por:

r 2 e r t + 1 4 r e r t + 2 e r t = 0

4 r ² + r + 8 = 0

r = - 1 - i 1 2 7 8 , - 1 +   i 1 2 7 8

u = exp ⁡ - 1 - i 127 8 t

u = exp ⁡ - 1 +   i 127 8 t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

Usando o princípio da superposição, teremos uma combinação para tera seguinte solução geral:

u t = C 1 exp ⁡ - 1 - i 127 8 t + C 2 exp ⁡ - 1 + i 127 8 t

u t = C 1 + C 2 e - t 8 cos ⁡ 127 8 t + - i C 1 + i C 2 e - t 8 sin ⁡ 127 8 t

u t =   e - t 8 C 3 cos ⁡ 127 8 t + C 4 sin ⁡ 127 8 t

u ' t =   - 1 8 e - t 8 C 3 cos ⁡ 127 8 t + C 4 sin ⁡ 127 8 t + e - t 8 - C 3 127 8 sin ⁡ 127 8 t + C 4   127 8 cos ⁡ 127 8 t

u 0 = C 3 = 0

u ' 0 = 1 8 ( - C 3 + C 4 127 ) = 2

C 4 = 16 127

u t = 16 127 e - t 8 sin ⁡ 127 8 t

Resposta

u t = 16 127 e - t 8 sin ⁡ 127 8 t

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