Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada ponto crítico. Desenhe um retrato de fase para o sistema.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os pontos críticos das nossas equações. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser montar o Jacobiano do nosso cmapo vetorial.

J =   1 - x - 0,5 y - 0,5 x 0,5 y - 0,25 + 0,5 x

Para os valores iguais a zero, temos os seguintes valores críticos:

x ( 1 - 0,5 x - 0,5 y ) = 0

y - 0,25 + 0,5 x = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só montar as equações e achar os resultados!!

J 0   ,   0 =   1 0 0 - 1 4     ∴       r 1 = 1   ; r 2 = - 1 4     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = 0 1   → i n s t á v e l

J 2   , 0 =   - 1 - 1 0 0,75     ∴       r 1 = - 1   ; r 2 = 0,75     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = - 4 7   → i n s t á v e l

J 0,5   , 1,5 =   - 0,25 - 0,25 0,75 0     ∴       r 1 = - 1 ± i 11 8       → a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

Resposta

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