Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 20
Seja uma função que admita derivadas parciais em todo o . Suponha que admita um único ponto crítico e que este ponto crítico seja ponto de máximo local. Pode-se concluir que é ponto de máximo global?
Passo 1
A questão faz uma pergunta: se uma função admitir derivadas parciais em todos os pontos e se tiver apenas um ponto crítico e ele for um máximo local, ele será necessariamente um máximo global?
A resposta para esse problema é não! Em matemática, provar que uma coisa é verdade é trabalhoso, mas provar que é falso é muito fácil, basta achar um contraexemplo. Consideremos a função
Tomando as primeiras derivadas:
Igualando essas derivadas a zero, da primeira equação tiramos ou . Se , na segunda equação obtemos . Por outro lado, se , na segunda equação obtemos , o que é uma contradição.
Assim, o único ponto crítico de é .
Passo 2
Tomando as segundas derivadas no ponto :
Assim, o hessiano será
Como o hessiano é positivo e , é ponto de máximo local. Note que . Por outro lado, note que
Logo, não é máximo global, mesmo sendo o único ponto crítico e máximo local de .
Com esse contraexemplo nós respondemos a pergunta da questão!
Resposta
Não.