Considere o sistema

Resolva o sistema para . Quais são os autovalores da matriz de coeficientes? Classifique o ponto de equilíbrio na origem em relação ao tipo.

Resolva o sistema para . Quais são os autovalores da matriz de coeficientes? Classifique o ponto de equilíbrio na origem em relação ao tipo.

As soluções encontradas em e exibem dois tipos de comportamento bem diferentes. Encontre os autovalores da matriz de coeficientes em função de e determine o valor de entre e em que ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro.

Calculando o auto vetor para esses dois resultados de autovalor que encontramos nós temos:

Para teremos o autovetor :

Fazendo a multiplicação vetorial teremos:

Portanto o autovalor para será:

Portanto a solução para esse autovalor será:

Agora para teremos um autovetor igual a :

Fazendo a multiplicação vetorial teremos:

Nos dando um autovetor igual a:

Portanto a solução será igual a:

Nos dando uma solução geral igual a:

Por hora cara, vamos dizer que e e vamos escrever e de .

E pelo autovalor vemos que ocorre uma transição em

Pois quando temos uma função constante. Então para teremos um comportamento de e de parecido com:

Caracterizando em um sistema estável ( é a curva vermelha e a verde)

Agora para para teremos:

O que caracteriza em um sistema instável.

A página para encontrar esses dois comportamentos estarão disponíveis em

https://www.desmos.com/calculator/nkozknv4vh

Basta variar

Depois de ter matado a cobra e ter mostrado o pau que a matou vamos responder as questão.

Os autovalores que encontramos valem:

Quando teremos:

O que caracteriza em um sistema instável.

Plotando o campo de direções do sistema nós teremos:

Já para teremos autovalores iguais a:

O que caracteriza em uma sistema estável. Plotando o campo de vetores nós temos: